Blog do Wall: junho 2010

Creio que determinados assuntos tais como quadrados mágicos, por exemplo, poderiam e deveriam ser mais explorados pelos professores no dia a dia da sala de aula.
Citamos a antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas, onde o xadrez é disciplina obrigatória.
O xadrez, assim como os quadrados mágicos levam os alunos a refletirem, a raciocinarem e a fazer uso da lógica.
É desnecessário falarmos acerca do entrosamento e da irmandade existente entre a lógica e matemática, pois ambas chegam a se confundirem muitas vezes.
Segundo o matemático Karl Poppev “ as fronteiras entre a Matemática e a Lógica, nunca foram demarcadas. Não sabemos onde termina a Matemática e começa a Lógica, e reciprocamente”.
O estudo dos quadrados mágicos, além disto, está longe de ser um
assunto tedioso, antes, é um assunto de fácil abordagem e que desperta a
curiosidade até mesmo daqueles que não são estudantes de matemática.

ORIGENS DOS QUADRADOS MÁGICOS

Pouco se conhece ainda hoje em dia sobre a história primitiva dos quadrados
mágicos, porém sua origem parece situar-se na China. Existem estudiosos do
assunto que afirmam terem os mesmos (quadrados mágicos) surgido há cerca
de 3000 anos na China, e ainda, segundo estes, também na Índia. Os
quadrados mágicos são arranjos quadrados de numerais em que as linhas,
colunas e diagonais têm a mesma soma. E o nome quadrado mágico foi dado a
este tipo especial de arranjo geométrico porque se acreditava que tivessem
poderes especiais.
O exemplo abaixo, em notação numeral moderna, é atribuído ao
imperador-engenheiro Yu, o Grande (c. 2200 A.C.). E, segundo diz a tradição,
quando Yu estava observando o rio Amarelo, surgiu uma tartaruga divina, em
cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo o nome de lo shu. Por
isto, há muitos e muitos anos os chineses acreditavam que quem possuísse um
quadrado mágico teria sorte e felicidade para toda a vida.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Os quadrados mágicos foram se propagando, chegando posteriormente
ao Japão, Índia e Oriente Médio, locais ligados ao misticismo. Apareceram na
Arábia durante o século IX e na Índia durante o século XI ,ou até antes, e
foram encontrados em escritos hebreus do século XII. Hoje em dia os
quadrados mágicos servem de amuletos no Tibete, na Índia e em grande parte
do sudeste da Ásia. Eram usados como talismãs, e a crença em seus poderes
mágicos perduraria durante toda a Idade Média e mesmo no Renascimento,
quando os matemáticos os tomaram como objetos de estudo.
A introdução dos quadrados mágicos na Europa é atribuída ao escritor
bizantino Manuel Moschopoulos, que os citou em sua obra intitulada “
Tratado de Quadrados Mágicos” , isto durante o século XV. Moschopoulos
viveu em Constantinopla numa época incerta, constando, apenas, que morreu
na Itália em 1460.
Os quadrados mágicos eram relacionados com a alquimia e a astrologia, e
um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto
contra a peste.
Mas, afinal, quando é que temos notícia da primeira impressão de um
quadrado mágico? A história nos diz que o pintor e gravador alemão do
Renascimento Albrecht Dürer em sua gravura intitulada Melancolia, datada de
cerca de 1500, nos traz impresso um dos primeiros quadrados mágicos. Este
quadrado mágico tinha quatro numerais horizontais e quatro outros dispostos
verticalmente, sendo as somas iguais a 34.

DEFINIÇÕES

Um quadrado mágico é uma tabela de números dispostos na forma de um
quadrado (NxN), de tal modo que a soma dos elementos de linha, coluna ou
diagonal seja uma constante. Estes números devem ser inteiros e consecutivos,
começados por 1.

Ordem(N): Tamanho do quadrado (Lado)
Solução(S): Valor a ser encontrado (Soma)
Valor secreto(V):Soma total dos elementos do quadrado(V)

Existem várias maneiras, além dos métodos que mostraremos para se montar quadrados mágicos.

Como construir quadrados mágicos da ordem impar

Monte seu quadrado e coloque o algarismo 1 na fileira central acima, em seguida ande em diagonal acendente porém cada vez que encontrar o "fim do quadrado" insira o algarismo na "casa" oposta, e toda vez que encontrar uma "casa" com algarismo ou no final da diagonal, coloque o próximo algarismo na casa abaixo da última preenchida como mostra a figura abaixo:

Este método serve para todos os quadrados mágicos de ordem ímpar.

CONSTRUÇÃO DE UM QUADRADO MÁGICO DE ORDEM PAR

Se por um lado a construção de qualquer quadrado de ordem ímpar é uma tarefa relativamente fácil, o mesmo não ocorre quando abordamos os quadrados de ordens pares.
E ainda só conseguimos aplicar este método para quadrados múltiplos de 4, para os demais não temos um método adequado, vejamos porque:

Quadrado mágico de ordem 4 (16 células)

1 2 3 4
8 7 6 5
12 11 10 9
13 14 15 16

Preenchemos a primeira linha colocando os vinte e cinco por cento do total de números do quadrado (números 1,2,3 e 4)da esquerda para a direita. Em seguida colocamos os cinquenta por cento do total dos números, em ordem crescente, da direita para a esquerda( seqüência 5,6,7 e 8 e em seguida a seqüência 9,10,11 e 12).
Finalmente, colocamos os vinte e cinco por cento restantes novamente da esquerda para a direita.
Notamos, feito isso, que a soma de todas as colunas já apresenta o valor 34, que realmente deve ocorrer pois n(n2 + 1)/2 = 34 para o valor n=4.
Devemos agora, trocar os cinqüenta por cento centrais das linhas (2 e 3 por 14 e 15) e (7 e 6 por 11 e 10), obtendo o quadrado mágico procurado.

1 14 15 4
8 11 10 5
12 7 6 9
13 2 3 16

Podemos observar que a soma de dois números que estão à mesma
distância dos extremos é a mesma, e, no caso, igual à soma dos próprios
extremos. Assim temos que (7+10)=(11+6)=(13+4)=(1+16)= 17

Este método só funciona para múltiplos de 4 pois só conseguimos 25% em múltiplos de 4, para os demais quadrados pares não existe uma regra definida ainda.

Segue abaixo quadrados mágicos de ordens 3,4,5,6,7,8,9,10,11 e 12

Quadrado da ordem 3

Quadrado da ordem 4
Este quadrado tem peculiaridades quanto a suas somas alem das linhas. colunas e diagonais.
Ele foi citado no livro símbolo perdido, e é muito interessante.
Vejamos:
Cantos: 16+13+4+1=34
Meio: 10+11+6+7=34
Meios1: 3+8+14+9=34
Meios2: 2+12+15+5=34
Meios3: 5+9+8+12=34
Meios4: 3+2+15+14=34